El apartado “Un repaso de Matemáticas” del documento aborda conceptos matemáticos fundamentales para la criptografía. Incluye los siguientes temas:
Fundamentos matemáticos: Ver también Aritmética Entera, Pequeño Teorema de Fermat, Teorema Chino de los Restos y Shamir’s Secret Sharing.
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Codificación: Explica cómo la información debe codificarse para su almacenamiento y transmisión. Menciona sistemas de codificación como ASCII y UTF-8, destacando que todo se reduce a representaciones binarias. También introduce los conceptos de alfabeto, mensajes y espacios de mensajes.
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Conjuntos y funciones: Define funciones matemáticas como reglas que asignan valores de un conjunto a otro, explicando las propiedades de inyectividad, sobreyectividad y biyectividad. También introduce las permutaciones como funciones biyectivas.
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Probabilidad discreta: Presenta el concepto de espacio muestral y función de probabilidad, explicando la probabilidad de sucesos y operaciones como unión e intersección. Introduce la probabilidad condicionada y el Teorema de Bayes, clave para el análisis criptográfico. También habla de variables aleatorias y funciones de distribución.
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Álgebra abstracta: Introduce estructuras como grupos, subgrupos, anillos y cuerpos, esenciales en criptografía moderna. Se presentan las operaciones módulo, la aritmética modular y el cálculo de inversas modulares usando la identidad de Bézout. También se menciona el Teorema chino del resto, fundamental para cálculos eficientes en criptosistemas como RSA.
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XOR y su relevancia en criptografía: Explica la operación XOR y sus propiedades en el contexto de espacios de bits. Se menciona cómo una variable aleatoria combinada con una distribución uniforme mediante XOR sigue siendo uniforme, una propiedad clave en cifrados de flujo.
Expansión de la Información:
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Importancia del Álgebra Abstracta en Criptografía: Los grupos y cuerpos finitos son esenciales para criptosistemas modernos como RSA y ECC. En particular, el grupo multiplicativo de un cuerpo finito se usa en curvas elípticas y en sistemas de intercambio de claves como Diffie-Hellman.
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El papel de la Probabilidad en Criptografía: Los ataques a criptosistemas suelen analizar distribuciones probabilísticas. Por ejemplo, los ataques de análisis de frecuencia explotan patrones estadísticos en los cifrados de sustitución. Además, la entropía de Shannon mide la impredecibilidad de una clave y es fundamental para evaluar la seguridad de sistemas criptográficos.
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XOR y su papel en la Seguridad: XOR es la base del cifrado de Vernam, un esquema de clave de un solo uso que proporciona seguridad perfecta si la clave es verdaderamente aleatoria y se usa solo una vez. Además, en cifrados modernos como AES, la operación XOR se emplea en varias etapas para mezclar datos y mejorar la confusión y difusión.
Si necesitas que expanda algún concepto específico con más profundidad o ejemplos, dime.