Filtro LMS (Least Mean Squares) en DSP

El filtro LMS (Least Mean Squares) es un filtro adaptativo ampliamente utilizado en procesamiento digital de señales (DSP).
Su objetivo es ajustar dinámicamente sus coeficientes para minimizar el error cuadrático medio entre la salida del filtro y una señal deseada de referencia.

Se emplea en aplicaciones como:

• Eliminación de ruido adaptativa (ANC).
• Cancelación de eco.
• Predicción de señales.
• Procesamiento de señales biomédicas (ECG, EEG).

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1. Principio de funcionamiento

El algoritmo LMS se basa en el descenso de gradiente estocástico para actualizar los coeficientes del filtro en cada instante de tiempo.

Sea:

• ( x(n) ): señal de entrada.
• ( d(n) ): señal deseada (referencia).
• ( y(n) ): salida del filtro.
• ( e(n) = d(n) - y(n) ): señal de error.
• ( \mathbf{w}(n) ): vector de coeficientes del filtro adaptativo.
• ( \mu ): paso de adaptación (step size).

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2. Ecuaciones del algoritmo LMS

1. Salida del filtro FIR adaptativo:

$$y(n)={\mathbf{w}}^T(n)\mathbf{x}(n)$$

donde:

$$\mathbf{x}(n)=[x(n),x(n-1),\dots ,x(n-M+1){]}^T$$

2. Cálculo del error:

$$e(n)=d(n)-y(n)$$

3. Actualización de coeficientes:

$$\mathbf{w}(n+1)=\mathbf{w}(n)+\mu e(n)\mathbf{x}(n)$$

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3. Parámetros clave

• Paso de adaptación ((\mu)):
  Controla la velocidad y estabilidad de la convergencia.
  Para estabilidad, se debe cumplir:

  $$0<\mu <\frac{1}{{\lambda }_{\text{max}}}$$

  donde ( \lambda_{\text{max}} ) es el mayor valor propio de la matriz de autocorrelación de ( x(n) ).

• Número de coeficientes (M):
  Determina la capacidad de modelado del filtro.
  Un valor mayor → mayor precisión pero más coste computacional.

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4. Ventajas y limitaciones

Ventajas:

• Implementación sencilla.
• Bajo coste computacional.
• Adaptativo, funciona en entornos variables.

Limitaciones:

• Convergencia más lenta que algoritmos como RLS.
• Sensible a la elección de (\mu).
• Rendimiento limitado si la señal tiene gran correlación.

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5. Aplicaciones en señales biomédicas

• ECG: Eliminación de interferencia de red (50/60 Hz) usando una referencia sinusoidal.
• EEG: Cancelación de artefactos oculares (EOG) a partir de canales de referencia.
• EMG: Filtrado de interferencias de baja y alta frecuencia adaptativamente. Con el LMS, conseguimos sacar la el ecg fetal, ya que el LMS es un cancelador de ruido y a partir de la señal del tórax con la del abdomen podemos quitarle el ruido a la señal de la madre, que dicho ruido se va a componer principalmente por el ecg fetal, sumándole una pequeña parte del ruido aleatorio que hemos generado anteriormente.

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6. Diagrama de bloques del filtro LMS

Entrada ( x(n) ) → Filtro FIR adaptativo → Salida ( y(n) )
(\quad) ↘ Comparación con ( d(n) ) → Error ( e(n) ) → Actualización de ( \mathbf{w}(n) )

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Función de transferencia del filtro LMS

En un filtro adaptativo LMS, la función de transferencia no es fija, ya que los coeficientes del filtro cambian en el tiempo según la regla de adaptación.
Sin embargo, en un instante dado ( n ), el filtro LMS se comporta como un filtro FIR con una función de transferencia definida por:

$$H_n(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{w}_k(n)z^{-k}$$

Donde:

• ( M ): número de coeficientes (orden del filtro + 1).
• ( w_k(n) ): coeficiente adaptativo en el instante ( n ).
• ( z^{-k} ): retardo discreto en el dominio ( z ).

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1. Relación entrada-salida en el dominio ( z )

Si la señal de entrada es ( X(z) ) y la salida es ( Y(z) ), para un instante fijo ( n ):

$$Y(z)=H_n(z)\cdot X(z)$$

Como ( H_n(z) ) cambia con ( n ), el filtro es tiempo-variantes (time-varying system).

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2. Interpretación

• Si los coeficientes ( w_k(n) ) convergen a valores estables, ( H_n(z) ) tiende a la función de transferencia óptima que minimiza el error cuadrático medio.
• Antes de la convergencia, ( H_n(z) ) evoluciona en cada iteración, adaptándose a las características de la señal y la referencia.

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3. Caso particular: filtro FIR adaptativo

Cuando el LMS ha convergido, el filtro puede considerarse invariante en el tiempo, y su función de transferencia final será:

$$H(z)=\sum _{k=0}^{M-1}{w}_k{z}^{-k}$$

Donde ( w_k ) son los coeficientes finales después de la adaptación.

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4. Nota sobre estabilidad

La estabilidad del filtro LMS depende del paso de adaptación (( \mu )), no de la función de transferencia fija, ya que el sistema es adaptativo.
La condición típica es:

$$0<\mu <\frac{1}{{\lambda }_{\text{max}}}$$

siendo ( \lambda_{\text{max}} ) el mayor valor propio de la matriz de autocorrelación de la entrada.

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