Filtro SGOLAYFILT (Savitzky–Golay)

Relacionado: CENT.

La función sgolayfilt implementa un filtro de Savitzky–Golay, que es un método de suavizado y diferenciación de señales basado en ajuste polinomial por mínimos cuadrados dentro de una ventana deslizante.
A diferencia de un filtro paso bajo tradicional, el filtro Savitzky–Golay preserva mejor la forma de las señales, especialmente la amplitud y anchura de picos.

En MATLAB, sgolayfilt se utiliza comúnmente para:

• Reducir ruido en señales sin distorsionar picos.
• Calcular derivadas suavizadas.
• Procesar datos biomédicos (ECG, EEG, espectros de HRV, etc.).

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1. Principio de funcionamiento

El método ajusta un polinomio de orden ( p ) a un conjunto de ( 2m+1 ) puntos alrededor de cada muestra ( x(n) ) mediante mínimos cuadrados, y utiliza el valor ajustado en el centro de la ventana como salida suavizada.

Sea:

• ( p ): orden del polinomio (típicamente 2–4).
• ( 2m+1 ): tamaño de la ventana (número de puntos usados en el ajuste).
• ( x(n) ): señal de entrada.
• ( y(n) ): señal filtrada.

El ajuste minimiza:

$$\underset{\mathbf{a}}{\min }\sum _{k=-m}^m{\left[x(n+k)-\sum _{i=0}^p{a}_i{k}^i\right]}^2$$

donde ( a_i ) son los coeficientes del polinomio.

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Filtro Savitzky–Golay (sgolayfilt) – Explicación avanzada

El filtro de Savitzky–Golay es un método de suavizado digital que aplica un ajuste polinomial por mínimos cuadrados en una ventana deslizante, y utiliza el valor del polinomio ajustado en el punto central como la salida filtrada.
A diferencia de un filtro paso bajo FIR tradicional, el Savitzky–Golay reduce el ruido preservando la forma y altura de picos, lo que lo hace ideal para señales donde la geometría de las ondas es importante.

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1. Origen y fundamento teórico

Este filtro fue propuesto por Abraham Savitzky y Marcel J.E. Golay en 1964 para suavizar datos espectroscópicos.
La idea central es que un filtro promedio móvil convencional tiende a aplanar picos y ensanchar formas, mientras que un ajuste polinomial local:

• Suaviza el ruido.
• Mantiene la altura y posición de los picos.
• Preserva la pendiente local, lo que es útil si se desean calcular derivadas.

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2. Proceso matemático

1. Ventana deslizante: Se elige una longitud ( L = 2m + 1 ) (impar).
2. Ajuste polinomial: En cada posición de la ventana, se ajusta un polinomio de orden ( p ) (típicamente ( 2 \leq p \leq 4 )):

$$P(k)=a_0+a_{1}k+a_2{k}^2+\cdots +a_p{k}^p$$

donde ( k ) va desde ( -m ) hasta ( +m ) alrededor del punto central.

3. Minimización por mínimos cuadrados:

$$\underset{a_0,a_1,\dots ,a_p}{\min }\sum _{k=-m}^m{\left[x(n+k)-P(k)\right]}^2$$

4. Valor filtrado: El valor suavizado en el instante ( n ) es ( P(0) = a_0 ) del polinomio ajustado.

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3. Relación con un filtro FIR

Aunque conceptualmente es un ajuste polinomial, cada ventana de Savitzky–Golay se puede expresar como un conjunto fijo de coeficientes FIR ( h_k ):

$$y(n)=\sum _{k=-m}^m{h}_{k}x(n+k)$$

Por tanto, para un orden ( p ) y longitud ( L ) dados, el filtro es lineal e invariante en el tiempo, y su función de transferencia es:

$$H(z)=\sum _{k=-m}^m{h}_k{z}^{-k}$$

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4. Elección de parámetros

• Orden del polinomio ( p ):

  • Bajo (p=2 o p=3) → mayor suavizado.
  • Alto (p≥4) → más preservación de detalles pero menos filtrado de ruido.

• Tamaño de la ventana ( L ):

  • Pequeña → conserva transitorios rápidos, menos suavizado.
  • Grande → mayor suavizado, pero puede distorsionar eventos cortos.

Regla práctica: ( L > p ) y ( L ) debe ser impar.

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5. Aplicaciones típicas

• Procesamiento biomédico:
  • ECG: Filtrado de ruido preservando complejos QRS.
  • EEG: Reducción de artefactos preservando ondas rápidas (beta, gamma).
  • HRV: Suavizado de series temporales antes de análisis espectral.
• Espectroscopia: Suavizado de espectros sin distorsionar picos de absorción.
• Análisis de datos experimentales: Filtrado en química, física e ingeniería.

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6. Ventajas y limitaciones

Ventajas:

• Mantiene la morfología de las señales.
• Permite derivación numérica precisa.
• Bajo coste computacional para órdenes bajos.

Limitaciones:

• No es óptimo para señales con picos muy estrechos si la ventana es grande.
• Puede introducir oscilaciones si el orden del polinomio es muy alto.
• No es adaptativo, requiere parámetros fijos.

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7. Uso en MATLAB

% Señal de ejemplo (ECG con ruido)
load ecg_signal
 
% Filtrado con polinomio cúbico y ventana de 21 muestras
y = sgolayfilt(ecg_signal, 3, 21);
 
% Visualización
plot(ecg_signal); hold on;
plot(y, 'LineWidth', 2);
legend('ECG original', 'ECG filtrado');