Filtro De Kalman

El filtro de Kalman es un algoritmo recursivo de estimación óptima que combina mediciones ruidosas con un modelo matemático del sistema para estimar el estado real de un proceso en cada instante de tiempo.
Se basa en un modelo de espacio de estados y en la teoría de estimación estadística, siendo óptimo cuando el ruido es gaussiano y el sistema es lineal.

---

1. Modelo de espacio de estados

Relacionado: Forense de memoria de sistema completo. 2025 02 13 TPM UEFI y sistemas Anticheat. 2025 02 20 Seguridad iOS memoria permisos y sandboxing. 2025 03 06 diseno y desarrollo de sistema. Acceso y analisis de memoria en Linux y Windows.

El sistema se modela con dos ecuaciones:

1. Ecuación de estado (evolución del sistema):

$${\mathbf{x}}_k={\mathbf{F}}_k{\mathbf{x}}_{k-1}+{\mathbf{B}}_k{\mathbf{u}}_k+{\mathbf{w}}_k$$

2. Ecuación de observación (medición):

$${\mathbf{z}}_k={\mathbf{H}}_k{\mathbf{x}}_k+{\mathbf{v}}_k$$

Donde:

• ( \mathbf{x}_k ) → vector de estado en el instante ( k ).
• ( \mathbf{F}_k ) → matriz de transición de estados.
• ( \mathbf{B}_k ) → matriz de control.
• ( \mathbf{u}_k ) → vector de control.
• ( \mathbf{z}_k ) → vector de medición.
• ( \mathbf{H}_k ) → matriz de observación.
• ( \mathbf{w}_k ) → ruido de proceso (( \mathcal{N}(0, Q_k) )).
• ( \mathbf{v}_k ) → ruido de medición (( \mathcal{N}(0, R_k) )).

---

2. Algoritmo del filtro de Kalman

Se compone de dos fases: predicción y actualización.

Predicción:

1. Estado predicho:

$${\hat{\mathbf{x}}}_{k|k-1}={\mathbf{F}}_k{\hat{\mathbf{x}}}_{k-1|k-1}+{\mathbf{B}}_k{\mathbf{u}}_k$$

2. Covarianza predicha:

$${\mathbf{P}}_{k|k-1}={\mathbf{F}}_k{\mathbf{P}}_{k-1|k-1}{\mathbf{F}}_k^T+{\mathbf{Q}}_k$$

---

Actualización:

1. Ganancia de Kalman:

$${\mathbf{K}}_k={\mathbf{P}}_{k|k-1}{\mathbf{H}}_k^T{\left({\mathbf{H}}_k{\mathbf{P}}_{k|k-1}{\mathbf{H}}_k^T+{\mathbf{R}}_k\right)}^{-1}$$

2. Estado actualizado:

$${\hat{\mathbf{x}}}_{k|k}={\hat{\mathbf{x}}}_{k|k-1}+{\mathbf{K}}_k\left({\mathbf{z}}_k-{\mathbf{H}}_k{\hat{\mathbf{x}}}_{k|k-1}\right)$$

3. Covarianza actualizada:

$${\mathbf{P}}_{k|k}=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{K}}_k{\mathbf{H}}_k\right){\mathbf{P}}_{k|k-1}$$

---

3. Características

• Recursivo: No necesita almacenar todas las mediciones anteriores.
• Óptimo: Si el sistema es lineal y el ruido es blanco gaussiano.
• Rápido: Adecuado para tiempo real.

---

4. Aplicaciones en señales biomédicas

• ECG: Eliminación de ruido en la línea base manteniendo morfología de la señal.
• EEG: Filtrado de artefactos preservando ondas cerebrales.
• HRV: Estimación suave de la frecuencia cardíaca instantánea.
• Seguimiento de parámetros fisiológicos: Estimación de presión arterial o glucosa.

---

5. Ventajas y limitaciones

Ventajas:

• Filtrado y predicción simultáneos.
• Adaptable a sistemas dinámicos.
• Robusto ante ruido gaussiano.

Limitaciones:

• Requiere conocer matrices ( Q_k ) y ( R_k ) correctamente.
• Menos efectivo si el sistema es altamente no lineal (en ese caso se usan EKF o UKF).
• Sensible a errores de modelado.

---

6. Ejemplo en MATLAB

% Definición de matrices (ejemplo simple)
F = [1 1; 0 1];
H = [1 0];
Q = eye(2)*0.01;
R = 0.1;
x = [0; 1];
P = eye(2);
 
% Medición simulada con ruido
z = [0.9, 2.0, 3.1, 4.05, 5.0] + 0.1*randn(1,5);
 
for k = 1:length(z)
    % Predicción
    x = F*x;
    P = F*P*F' + Q;
    
    % Actualización
    K = P*H'/(H*P*H' + R);
    x = x + K*(z(k) - H*x);
    P = (eye(2) - K*H)*P;
    
    fprintf('Estado estimado en paso %d: %f %f\n', k, x(1), x(2));
end