Algoritmo De Retroproyeccion

Algoritmo de Retroproyección

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El algoritmo de retroproyección (backprojection algorithm) es un procedimiento matemático utilizado para reconstruir una imagen bidimensional o tridimensional a partir de un conjunto de proyecciones adquiridas desde diferentes ángulos. Es un pilar en técnicas de imagen médica como la tomografía computarizada (CT), la tomografía por emisión de positrones (PET) o la tomografía computarizada por emisión de fotón único (SPECT).

Su objetivo es convertir la información angular obtenida por un detector en una representación espacial coherente del objeto que está siendo estudiado.

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1. Principio de Funcionamiento

En un sistema de tomografía, el objeto es irradiado (rayos X, rayos gamma, ultrasonido, etc.) desde múltiples direcciones. Cada detector registra la atenuación o respuesta del haz al atravesar el objeto, produciendo un perfil de proyección.

El algoritmo de retroproyección consiste en reproyectar cada perfil de proyección de vuelta al espacio de la imagen, siguiendo la geometría de adquisición, y sumarlos todos para estimar la distribución interna de la variable medida (densidad, actividad radiactiva, etc.).

En términos sencillos:

1. Se adquieren proyecciones desde distintos ángulos.

2. Cada proyección se “extiende” o “difunde” a lo largo del ángulo correspondiente.

3. Se suman todas las retroproyecciones para formar una imagen aproximada del objeto.

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2. Formulación Matemática

Si definimos:

$p\theta (t)p_{\theta }(t)=$ proyección medida en un ángulo θ\theta y desplazamiento tt.

$f(x,y)f(x,y)=$distribución espacial de la variable física que queremos reconstruir.

La retroproyección básica puede expresarse como:

$fRB(x,y)=\int 0\pi p\theta (xcos\theta +ysin\theta )d\theta f_{RB}(x,y)={\int }_0^{\pi }{p}_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta$

Donde fRB(x,y)f_{RB}(x, y) es la imagen obtenida por retroproyección directa (sin filtrado).
Este método genera una imagen borrosa debido a la superposición de proyecciones, por lo que normalmente se emplea la retroproyección filtrada (Filtered Backprojection - FBP).

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3. Retroproyección Filtrada (FBP)

Para mejorar la nitidez, antes de retroproyectar se filtran las proyecciones en el dominio de la frecuencia mediante un filtro de rampa u otros filtros modificados (Shepp-Logan, Hamming, Hann). Esto compensa la pérdida de información de altas frecuencias durante la adquisición.

Pasos:

1. Aplicar la Transformada de Fourier a cada proyección.

2. Multiplicar el espectro por un filtro adecuado.

3. Realizar la transformada inversa para obtener la proyección filtrada.

4. Retroproyectar las proyecciones filtradas.

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4. Aplicaciones Clínicas

• Tomografía Computarizada (CT): Reconstrucción de cortes axiales de tejidos blandos, huesos y órganos.

• PET/SPECT: Distribución de radiotrazadores en el cuerpo para estudios metabólicos y funcionales.

• Microscopía de rayos X y tomografía industrial: Análisis no destructivo de materiales.

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5. Ventajas y Limitaciones

Ventajas:

• Rápido y computacionalmente eficiente.

• Fácil de implementar.

• Base de muchos sistemas comerciales de imagen médica.

Limitaciones:

• La retroproyección simple produce imágenes difusas.

• Requiere filtrado para obtener imágenes de calidad.

• Sensible al ruido y a artefactos por datos incompletos o mal calibrados.

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Si quieres, puedo prepararte un esquema visual paso a paso del algoritmo de retroproyección con la diferencia entre la versión simple y la filtrada, de forma que quede listo para un documento técnico o de clase. Esto ayudaría mucho a que sea más entendible para un lector no especializado.

¿Quieres que lo añada?