Análisis mediante CWT (Transformada Wavelet Continua)

La Transformada Wavelet Continua (CWT, Continuous Wavelet Transform) es una herramienta matemática utilizada para analizar señales no estacionarias, es decir, aquellas cuya composición en frecuencia varía con el tiempo. A diferencia de la Transformada de Fourier, que solo muestra el contenido global de frecuencia, la CWT proporciona información temporal y frecuencial simultáneamente.

En el análisis de señales biomédicas como ECG, EEG o EMG, la CWT es especialmente útil para detectar eventos transitorios, picos y cambios bruscos que no serían evidentes con métodos espectrales tradicionales.

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1. Fundamento teórico

La CWT se basa en comparar la señal ( x(t) ) con una wavelet madre ( \psi(t) ), la cual se desplaza (traslación) y se escala (dilatación o compresión).

La expresión matemática de la CWT es:

$$C(a,b)=\frac{1}{\sqrt{|a|}}{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t){\psi }^{\ast }\left(\frac{t-b}{a}\right)dt$$

Donde:

• ( a ): parámetro de escala (inversamente proporcional a la frecuencia).
• ( b ): parámetro de traslación (posición temporal).
• ( \psi(t) ): wavelet madre.
• ( C(a, b) ): coeficientes que indican la similitud entre la señal y la wavelet.
• ( ^* ): conjugado complejo.

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2. Proceso de análisis

1. Selección de la wavelet madre:

   • Morlet → Alta resolución frecuencial, útil para señales oscilatorias.
   • Mexican Hat (Ricker) → Detección de picos y transitorios.
   • Daubechies → Ideal para cambios bruscos en la señal.

2. Escalado y desplazamiento:

   • Escalas pequeñas → Alta frecuencia (buena resolución temporal).
   • Escalas grandes → Baja frecuencia (buena resolución frecuencial).

3. Cálculo de coeficientes: Cada coeficiente ( C(a, b) ) indica cuánta energía de la señal coincide con la wavelet en un instante y frecuencia determinados.

4. Representación tiempo-frecuencia: Se obtiene un escalograma, con:

   • Eje horizontal → Tiempo.
   • Eje vertical → Escala o frecuencia.
   • Intensidad de color → Magnitud de ( C(a, b) ).

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3. Ventajas en señales médicas

• Detección precisa de eventos transitorios como arritmias, picos epilépticos o artefactos musculares.
• Alta resolución temporal en altas frecuencias y alta resolución frecuencial en bajas frecuencias.
• Especialmente adecuada para señales no estacionarias.
• Posibilidad de filtrado selectivo y detección de patrones.

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4. Ejemplo en electrocardiografía (ECG)

En un ECG, la CWT permite:

• Detectar con precisión el complejo QRS incluso en presencia de ruido.
• Analizar variaciones en ondas P y T.
• Estudiar la dinámica de la frecuencia cardíaca en situaciones clínicas diversas.