Ecuaciones Diofanticas Lineales

Ecuaciones diofánticas lineales – Nota explicada y su aplicación en programación

Relacionado: Congruencias. Aritmetica entera.

Una ecuación diofántica lineal es una ecuación de la forma:

ax+by=cax + by = c

donde:

a,b,c∈Za, b, c \in \mathbb{Z} (enteros),
y las soluciones buscadas también deben ser enteras: x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}.

¿Cuándo tiene solución?

La ecuación ax+by=cax + by = c tiene solución entera si y solo si:

MCD(a,b)∣c\text{MCD}(a, b) \mid c

Es decir, si el máximo común divisor de a y b divide a c.

️ En programación: resolverla con el algoritmo extendido de Euclides

Algoritmo extendido de Euclides

Además de calcular el MCD de dos números a y b, este algoritmo encuentra enteros x y y tales que:

ax+by=MCD(a,b)ax + by = \text{MCD}(a, b)

Por lo tanto, para resolver ax+by=cax + by = c:

Calculamos el MCD.
Si d = MCD(a, b) divide a c, multiplicamos la solución por c/d.

Ejemplo en Python

def extended_gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    else:
        d, x1, y1 = extended_gcd(b, a % b)
        x = y1
        y = x1 - (a // b) * y1
        return d, x, y
 
def solve_diofantica(a, b, c):
    d, x0, y0 = extended_gcd(a, b)
    if c % d != 0:
        return None  # No hay solución
    factor = c // d
    return x0 * factor, y0 * factor  # Solución particular

Uso:

a, b, c = 30, 50, 40
x, y = solve_diofantica(a, b, c)
print(f"Solución: x = {x}, y = {y}")

Aplicaciones en programación

1. Criptografía: inverso modular

En RSA o Diffie-Hellman necesitas calcular el inverso de e módulo φ(n):

ex≡1mod ϕ(n)ex \equiv 1 \mod \phi(n)

→ Es una ecuación diofántica: ex+ϕ(n)y=1ex + \phi(n)y = 1

2. Optimización de recursos

Problemas de distribución: encontrar combinaciones exactas de elementos con múltiplos fijos.
Por ejemplo: ¿cómo llenar una mochila con paquetes de 7 kg y 11 kg para llegar exactamente a 100 kg?

3. Teorema chino del resto

En la versión extendida, si los módulos no son coprimos, se recurre a ecuaciones diofánticas para combinar soluciones.
Importante en criptografía, sincronización de relojes y comunicaciones distribuidas.

️ 4. Motores de álgebra simbólica

Sistemas como SymPy, SageMath, Mathematica resuelven ecuaciones diofánticas automáticamente.
Se usan en CAS (Computer Algebra Systems), motores de demostración matemática, cálculo simbólico y asistentes automatizados.

5. Programación competitiva

En problemas de construcción de números enteros, divisibilidad, combinación de múltiplos o en tareas de scheduling con restricciones.
También en juegos tipo “¿se puede sumar 17 usando solo múltiplos de 4 y 7?“.

Solución general

Si (x0,y0)(x_0, y_0) es una solución particular de ax+by=cax + by = c, entonces todas las soluciones se pueden describir como:

x=x0+bdt,y=y0−adt,t∈Zx = x_0 + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}t, \quad t \in \mathbb{Z}

Esto permite generar todas las soluciones enteras, lo cual es útil para búsquedas o para contar soluciones en programación.

Conclusión

Las ecuaciones diofánticas lineales son simples pero poderosas, y aparecen en programación cuando:

Necesitas resolver congruencias (clave en seguridad).
Buscas combinaciones exactas con restricciones.
Calculas inversos, sincronizaciones, alineaciones o distribución de recursos.

Con el algoritmo extendido de Euclides puedes resolverlas de forma eficiente, y aplicarlas directamente en muchos contextos reales de software.

¿Quieres que prepare un ejemplo más avanzado donde calculamos el inverso modular y lo usamos para implementar una parte del cifrado RSA?

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