División euclídea – Relación entre matemáticas y programación
Relacionado: Horario. Aritmetica entera.
La división euclídea es un concepto fundamental en aritmética entera, y tiene aplicaciones directas y constantes en programación, especialmente en algoritmos, criptografía, optimización, compresión y estructuras de datos.
¿Qué es la división euclídea?
Dados dos enteros a (dividendo) y b (divisor, distinto de 0), la división euclídea garantiza la existencia de dos enteros:
q=cociente,r=restoq = \text{cociente}, \quad r = \text{resto}
Tales que:
a=bq+r,con 0≤r<∣b∣a = bq + r, \quad \text{con } 0 \le r < |b|
En programación
En lenguajes como Python, C, Java:
q = a // b # División entera (cociente)
r = a % b # Resto (módulo)Esto implementa directamente la división euclídea.
Ejemplo:
a = 23
b = 5
q = 23 // 5 # 4
r = 23 % 5 # 3
# Verificación: 23 = 5 * 4 + 3️ Aplicaciones en programación
1. Cálculo del MCD con el algoritmo de Euclides
El algoritmo de Euclides usa división euclídea repetidamente:
def gcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a️ Este algoritmo es la base para:
-
Reducir fracciones.
-
Comprobar co-primalidad.
-
Calcular inversos modulares (RSA, criptografía).
2. Aritmética modular
El resto de la división (a % b) permite trabajar en un conjunto finito de residuos:
Zn={0,1,…,n−1}\mathbb{Z}_n = {0, 1, …, n-1}
️ Usado en:
-
Tablas hash.
-
Generación pseudoaleatoria.
-
Cifrado de clave pública y privada.
-
Relojes (hora % 12, % 24).
3. Conversión de base (base-N)
La división euclídea permite convertir un número decimal a cualquier otra base:
n = 25
base = 2
digits = []
while n > 0:
digits.append(n % base)
n = n // base
# Resultado: 11001 (binario de 25)4. Distribución cíclica y estructuras circulares
Cuando necesitas operar en estructuras circulares, como:
-
Arrays circulares
-
Buffers de cola (circular buffer)
-
Horarios (turnos rotativos, relojes)
Usas:
i = (i + 1) % N # pasar al siguiente índice circularmente5. Compresión y algoritmos de codificación
Muchas transformaciones (como en códigos cíclicos) dependen del uso de residuos para manipular posiciones en secuencias, y aplican división euclídea para alinear y dividir bloques.
En seguridad (criptografía)
-
RSA, Diffie-Hellman, curvas elípticas: se basan en operaciones sobre
ℤ_n, es decir, números enteros módulon. -
El inverso modular
a⁻¹ mod nse calcula usando la división euclídea extendida.
Conclusión
La división euclídea no es solo una operación matemática elemental, sino una herramienta clave en la programación, usada para:
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control de bucles
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gestión de índices
-
cifrado
-
algoritmos fundamentales
-
estructuras de datos circulares
-
eficiencia algorítmica
Es uno de esos conceptos matemáticos con impacto inmediato en el código, en todos los niveles.
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