A continuación se comparan los métodos de interpolación más comunes: Lagrange, Newton con diferencias divididas, Neville, y Coeficientes indeterminados, considerando criterios como eficiencia, reutilización, estabilidad, expresividad simbólica y aplicación práctica.
Tabla comparativa
Relacionado: Interpolacion. Metodo de diferencias divididas y polinomio de Newton. Polinomio de Lagrange. Forma simbolica del polinomio.
| Método | Evalúa en 1 punto | Polinomio explícito | Incremental | Eficiente con muchos puntos | Estable numéricamente | Comentario clave |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Lagrange | Medio | Simbólicamente directo pero ineficiente si se añade un punto nuevo | ||||
| Newton (diferencias divididas) | Mejor que Lagrange | Ideal para expansión incremental, buena eficiencia | ||||
| Neville | Muy buena | Ideal para evaluación puntual sin necesidad del polinomio | ||||
| Coeficientes indeterminados | Buena si se usa álgebra exacta | Requiere resolver un sistema, útil cuando se quiere forma explícita exacta |
Ventajas y desventajas por método
Lagrange
- Muy intuitivo y simbólico.
- No reutilizable: cualquier cambio obliga a recomputar todo.
- Útil en teoría y álgebra simbólica.
- No ideal en programación numérica para muchos datos.
Newton con diferencias divididas
- Se puede extender fácilmente si se añaden nuevos puntos.
- Reutiliza cálculos previos.
- Se adapta bien a evaluaciones numéricas rápidas.
- Depende del orden de los puntos.
Neville
- Alta estabilidad numérica.
- Ideal para interpolar en un solo punto sin construir el polinomio.
- Poco práctico si se quiere reutilizar o calcular múltiples valores.
- No ofrece forma simbólica del polinomio.
Coeficientes indeterminados
- Produce el polinomio exacto y explícito.
- Muy útil cuando se quiere estudiar el polinomio en sí.
- Poco eficiente para muchos puntos.
- No reutilizable si se cambia o añade un dato.
Elección del método según necesidad
| Necesidad / Contexto | Método recomendado |
|---|---|
| Evaluar en un solo punto (y ya tengo los datos) | Neville |
| Obtener el polinomio simbólico | Lagrange o Coeficientes indeterminados |
| Interpolar muchos datos de forma eficiente | Newton (diferencias divididas) |
| Añadir puntos dinámicamente | Newton (diferencias divididas) |
| Resolver a mano en ejercicios simples | Lagrange |
| Resolver automáticamente con álgebra computacional | Coeficientes indeterminados |
Conclusión
- Lagrange y coeficientes indeterminados son útiles cuando se busca una forma simbólica del polinomio.
- Newton ofrece eficiencia, modularidad y mejor uso en programación.
- Neville es ideal para estimaciones puntuales con estabilidad numérica alta.
La elección del método depende de si quieres obtener el polinomio completo, evaluarlo en un punto, optimizar el cálculo, o trabajar de forma simbólica o numérica.