Método de Neville – Interpolación numérica y programación

Relacionado: ARIN. Interpolacion. Metodo de diferencias divididas y polinomio de Newton. Polinomio de Lagrange. Forma simbolica del polinomio.

El método de Neville es un algoritmo numérico para interpolación polinómica, que permite calcular el valor estimado de una función en un punto dado, utilizando un conjunto de puntos conocidos. Es útil cuando solo quieres el valor interpolado en un punto, sin necesidad de calcular el polinomio completo.

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Objetivo

Dado un conjunto de puntos:

$$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$$

el método de Neville calcula una aproximación del valor de la función en un punto $x$ usando interpolación de forma recursiva.

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Fórmula de Neville

La fórmula recursiva es:

$$P_{i,j}(x)=\frac{(x-x_j)P_{i,j-1}(x)-(x-x_i)P_{i+1,j}(x)}{x_i-x_j}$$

donde:

• $P_{i,i}(x)=y_i$ (los valores conocidos)
• $P_{0,n}(x)$ es el valor interpolado final

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¿Cómo funciona?

Se construye una tabla triangular donde:

• La primera columna contiene los $y_i$ (valores conocidos).
• Cada columna siguiente usa la fórmula de Neville para combinar valores anteriores.
• El valor en la esquina superior derecha es la interpolación final en $x$.

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Aplicaciones prácticas

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Estimación puntual de valores en gráficos, física, simulaciones, etc.

El método de Neville es especialmente útil cuando se necesita estimar con precisión el valor de una función en un punto específico sin necesidad de modelar toda la función. Por ejemplo:

• En gráficos computacionales, puede utilizarse para suavizar trayectorias o animaciones cuando se conocen solo ciertos puntos clave.

• En física computacional, sirve para estimar el valor de una variable (como temperatura, velocidad o presión) en un instante de tiempo o una posición donde no se ha realizado una medición directa.

• En simulaciones numéricas, permite calcular valores intermedios entre resultados de simulación ya calculados (por ejemplo, interpolar entre tiempos de integración en métodos numéricos de EDOs).

• Como el método no requiere la construcción de todo el polinomio, es especialmente eficaz cuando solo interesa el resultado en un punto y no en todo el intervalo.

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Reconstrucción de valores faltantes en datasets

En ciencia de datos o ingeniería, es común que los datos contengan valores perdidos (por errores de sensores, errores de transmisión o problemas de muestreo). El método de Neville puede aplicarse para:

• Interpolar valores faltantes en columnas numéricas cuando se conocen varios datos antes y después del hueco.

• Generar valores sintéticos coherentes con los datos existentes, sin necesidad de usar modelos probabilísticos o de machine learning.

• Su uso es particularmente útil cuando se requiere preservar la precisión matemática y la continuidad local del comportamiento de los datos.

Por ejemplo, si en una serie temporal falta el valor de una variable en el instante t=5t = 5, pero se conocen los valores en t=3,4,6,7t = 3, 4, 6, 7, Neville puede utilizarse para interpolar un valor confiable en t=5t = 5.

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Sustituto de Lagrange o Newton cuando no se necesita el polinomio simbólico

A diferencia de la interpolación de Lagrange o Newton, que calculan un polinomio completo (expresado simbólicamente o con coeficientes), el método de Neville solo calcula el valor interpolado en un punto dado.

Esto lo convierte en una excelente opción cuando:

• Se necesita únicamente un valor puntual y no una expresión general.

• Se busca reducir el tiempo de cálculo y la complejidad simbólica.

• Se trabaja en entornos donde no se requiere almacenar o reutilizar el polinomio (por ejemplo, visualización rápida o aplicaciones interactivas).

También es más simple de implementar que Lagrange cuando se hace con una tabla iterativa, y puede ofrecer mejores condiciones numéricas en ciertos casos.

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Compatible con interpolación sobre campos finitos si se adapta a aritmética modular

El método de Neville se basa en operaciones algebraicas básicas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Estas operaciones pueden adaptarse fácilmente para trabajar en un campo finito Zp\mathbb{Z}_p (con módulo un número primo pp), lo que permite usar el método en contextos criptográficos o algebraicos.

Aplicaciones:

• En criptografía, especialmente en esquemas como Shamir’s Secret Sharing, donde los valores se evalúan sobre un campo finito.

• En teoría de códigos, cuando se necesita interpolar símbolos de un código de corrección de errores.

• En protocolos de verificación distribuida, para reconstruir un valor secreto a partir de fragmentos parciales, utilizando interpolación modular.

Para que funcione en estos contextos, basta con reemplazar la división habitual por multiplicación por el inverso modular, garantizando que todos los cálculos se mantengan dentro del campo.

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Ventajas

• No necesita conocer ni construir el polinomio completo.

• Evita calcular coeficientes explícitos.

• Puede usarse de forma incremental.

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️ Desventajas

• No reutiliza cálculos si se cambian los puntos.

• Menos eficiente para evaluar en múltiples puntos.

• Sensible al orden de los puntos y al ruido en datos grandes.

️ Implementación en Python

def neville(x_values, y_values, x):
    n = len(x_values)
    Q = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    
    for i in range(n):
        Q[i][0] = y_values[i]
        
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - j):
            xi, xj = x_values[i], x_values[i + j]
            Q[i][j] = ((x - xj) * Q[i][j - 1] + (xi - x) * Q[i + 1][j - 1]) / (xi - xj)
    
    return Q[0][n - 1] 
    ```