Método de diferencias divididas y polinomio de Newton

El método de diferencias divididas permite construir de forma eficiente un polinomio interpolador que pase por un conjunto de puntos conocidos $(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), ..., (x_{n}, y_{n})$ .

Es una alternativa más eficiente al método de Lagrange, y permite añadir nuevos puntos sin recalcular todo desde cero.

Polinomio de Newton

La forma general del polinomio de Newton es:

P (x) = f [x_{0}] + f [x_{0}, x_{1}] (x - x_{0}) + f [x_{0}, x_{1}, x_{2}] (x - x_{0}) (x - x_{1}) + \dots + f [x_{0}, ..., x_{n}] (x - x_{0}) (x - x_{1}) ... (x - x_{n - 1})

Diferencias divididas

El método de diferencias divididas permite construir de forma eficiente un polinomio interpolador que pase por un conjunto de puntos conocidos (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn)(x_0, y_0), (x_1, y_1), …, (x_n, y_n). A diferencia de otros métodos como Lagrange, este:

Permite añadir puntos sin recalcular todo desde cero.
Es más eficiente computacionalmente.
Se adapta bien a cálculos simbólicos y numéricos.

Las diferencias divididas se calculan recursivamente:

Primer orden:

f [x_{i}] = y_{i}

f [x_{i}, x_{i + 1}] = \frac{f [ x _{i + 1} ] - f [ x _{i} ]}{x _{i + 1} - x _{i}}

Segundo orden:

f [x_{i}, x_{i + 1}, x_{i + 2}] = \frac{f [ x _{i + 1} , x _{i + 2} ] - f [ x _{i} , x _{i + 1} ]}{x _{i + 2} - x _{i}}

Y así sucesivamente hasta completar el grado deseado.

Ejemplo paso a paso

Dado el conjunto de puntos:

(1, 2), (2, 3), (4, 10)

Calcular:

f [1] = 2, f [2] = 3, f [4] = 10

f [1, 2] = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1

f [2, 4] = \frac{10 - 3}{4 - 2} = 3.5

f [1, 2, 4] = \frac{3.5 - 1}{4 - 1} = \frac{2.5}{3} \approx 0.8333

Polinomio de Newton:

P (x) = 2 + 1 (x - 1) + 0.8333 (x - 1) (x - 2)

Implementación en Python

def diferencias_divididas(x, y):
    n = len(x)
    coef = [yi for yi in y]
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - 1, j - 1, -1):
            coef[i] = (coef[i] - coef[i - 1]) / (x[i] - x[i - j])
    return coef
 
def newton_evaluar(x, coef, x_val):
    n = len(coef)
    result = coef[-1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        result = result * (x_val - x[i]) + coef[i]
    return result
 
---
 
## ¿Qué son las diferencias divididas?
 
Son valores que generalizan las derivadas finitas, y se calculan de manera recursiva:
 
- Primer orden:  $$
    f[xi]=yi $$f[x_i] = y_i  $$$$
    f[xi,xi+1]=f[xi+1]−f[xi]xi+1−xif[x_i, x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}] - f[x_i]}{x_{i+1} - x_i}
    $$
- Segundo orden:  
    f[xi,xi+1,xi+2]=f[xi+1,xi+2]−f[xi,xi+1]xi+2−xif[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}] - f[x_i, x_{i+1}]}{x_{i+2} - x_i}
    
- Y así sucesivamente, hasta llegar al orden nn.
    
 
Esto genera una **tabla triangular de diferencias divididas**, cuya diagonal principal contiene los coeficientes del polinomio.
 
---
 
## Ejemplo simple paso a paso
 
Supón los puntos:
 
(1,2),(2,3),(4,10)(1, 2), (2, 3), (4, 10)
 
1. Calculamos:
    
    - f[1]=2,f[2]=3,f[4]=10f[1] = 2,\quad f[2] = 3,\quad f[4] = 10
        
    - f[1,2]=3−22−1=1f[1,2] = \frac{3 - 2}{2 - 1} = 1  
        f[2,4]=10−34−2=3.5f[2,4] = \frac{10 - 3}{4 - 2} = 3.5
        
    - f[1,2,4]=3.5−14−1=2.53≈0.8333f[1,2,4] = \frac{3.5 - 1}{4 - 1} = \frac{2.5}{3} \approx 0.8333
        
2. Polinomio:
    
 
P(x)=2+1(x−1)+0.8333(x−1)(x−2)P(x) = 2 + 1(x - 1) + 0.8333(x - 1)(x - 2)
 
---
 
## Implementación en programación (Python)
 
```python
def diferencias_divididas(x, y):
    n = len(x)
    coef = [yi for yi in y]  # copiar y
 
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - 1, j - 1, -1):
            coef[i] = (coef[i] - coef[i - 1]) / (x[i] - x[i - j])
    
    return coef
 
def newton_evaluar(x, coef, x_val):
    n = len(coef)
    result = coef[-1]
    for i in range(n - 2, -1, -1):
        result = result * (x_val - x[i]) + coef[i]
    return result

Uso:

x = [1, 2, 4]
y = [2, 3, 10]
 
coeficientes = diferencias_divididas(x, y)
print("Coeficientes:", coeficientes)
 
valor = newton_evaluar(x, coeficientes, 2.5)
print("P(2.5) =", valor)

Aplicaciones prácticas

Interpolación eficiente de datos con posibilidad de añadir nuevos sin recalcular todo.
Reconstrucción de funciones cuando se tienen muestras discretas.
Evaluación rápida de polinomios por su forma escalonada (análoga a Horner).
Adaptable para cálculo simbólico y sistemas algebraicos computacionales.
En criptografía, puede usarse si se implementa en campos finitos.

Ventajas

Menos operaciones que Lagrange para muchos puntos.
Puede construirse incrementalmente.
Permite reutilizar trabajo previo si se añade un nuevo dato.
Requiere solo una tabla de coeficientes y se puede evaluar con eficiencia.

Desventajas

El orden de los puntos importa: el polinomio cambia si se cambian.
Menor estabilidad numérica en ciertos casos respecto a otras formas.

Conclusión

El método de diferencias divididas y el polinomio de Newton ofrecen una forma potente, eficiente y reutilizable de construir polinomios interpoladores. Son ideales para aplicaciones donde:

Se agregan datos dinámicamente.
Solo se requiere evaluación rápida.
Se busca optimizar espacio y tiempo en el cálculo.

Es uno de los métodos clásicos más usados en análisis numérico, ingeniería, gráficos computacionales y software simbólico.

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Metodo De Diferencias Divididas Y Polinomio De Newton