Metodo De Los Coeficientes Indeterminado

El método de los coeficientes indeterminados es una técnica algebraica utilizada para encontrar una expresión general de un polinomio desconocido que debe cumplir ciertas condiciones. Su nombre se debe a que los coeficientes del polinomio se dejan inicialmente como variables “indeterminadas”, que luego se determinan resolviendo un sistema de ecuaciones.

¿Para qué se usa?

Relacionado: Interpolacion. Metodo de diferencias divididas y polinomio de Newton. Polinomio de Lagrange. Forma simbolica del polinomio.

Interpolación polinómica
Ajuste de curvas
Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Resolución simbólica en álgebra computacional
Automatización de patrones algebraicos en programación simbólica (ej. SymPy)

Idea general

Supongamos que queremos hallar un polinomio $P (x)$ de grado $n$ :

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

Si conocemos $n + 1$ pares de valores $(x_{i}, y_{i})$ tales que:

P (x_{i}) = y_{i}

podemos sustituir cada punto en la expresión del polinomio y obtener un sistema de ecuaciones lineales con las incógnitas $a_{0}, a_{1}, ..., a_{n}$ .

Ejemplo

Queremos encontrar un polinomio de grado 2:

P (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}

Que pase por los puntos:

(0, 1), (1, 3), (2, 7)

Sustituimos:

$P (0) = a_{0} = 1$
$P (1) = a_{0} + a_{1} + a_{2} = 3$
$P (2) = a_{0} + 2 a_{1} + 4 a_{2} = 7$

Sustituimos el valor de $a_{0} = 1$ :

$1 + a_{1} + a_{2} = 3 \Rightarrow a_{1} + a_{2} = 2$
$1 + 2 a_{1} + 4 a_{2} = 7 \Rightarrow 2 a_{1} + 4 a_{2} = 6$

Resolviendo el sistema:

De la primera: $a_{1} = 2 - a_{2}$
Sustituimos en la segunda:
$2 (2 - a_{2}) + 4 a_{2} = 6 \Rightarrow 4 - 2 a_{2} + 4 a_{2} = 6 \Rightarrow 2 a_{2} = 2 \Rightarrow a_{2} = 1$
$a_{1} = 2 - 1 = 1$

Resultado:

P (x) = 1 + x + x^{2}

️ Implementación simbólica en Python (con SymPy)

from sympy import symbols, Eq, solve
 
x = symbols('x')
a0, a1, a2 = symbols('a0 a1 a2')
 
P = a0 + a1*x + a2*x**2
ecuaciones = [
    Eq(P.subs(x, 0), 1),
    Eq(P.subs(x, 1), 3),
    Eq(P.subs(x, 2), 7)
]
 
sol = solve(ecuaciones, (a0, a1, a2))
print("Coeficientes:", sol)

Aplicaciones prácticas

Interpolación numérica directa: útil cuando se tienen pocos puntos y se quiere obtener un polinomio explícito.
Verificación de resultados simbólicos en álgebra computacional.
Diseño de filtros digitales en ingeniería, donde se imponen condiciones de paso por puntos específicos.
Solución particular de ecuaciones diferenciales con el método de coeficientes indeterminados.

Ventajas

Método exacto y directo.
Ideal cuando se necesita la forma explícita del polinomio.
Fácil de automatizar con álgebra simbólica.

️ Desventajas

Requiere resolver un sistema de ecuaciones.
Poco eficiente si el número de puntos es grande.
No es incremental (si se añade un nuevo punto, hay que volver a resolver).

Conclusión

El método de los coeficientes indeterminados es una técnica sencilla y poderosa para obtener un polinomio que cumple condiciones específicas. Aunque no es el más eficiente para muchos puntos, es perfecto cuando se necesita construir un modelo algebraico exacto a partir de condiciones concretas.

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