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Shamir's Secret Sharing – Explicación y aplicación en programación

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Perfecto. Aquí tienes una nota explicada y completa sobre Shamir’s Secret Sharing, en formato de texto enriquecido con fórmulas entre símbolos $$...$$ para que puedas usarla directamente en Obsidian o cualquier entorno compatible con LaTeX.

Shamir’s Secret Sharing – Explicación y aplicación en programación

Relacionado: ARIN. Interpolacion. Herramientas. CENT. Metodo de diferencias divididas y polinomio de Newton.

Shamir’s Secret Sharing (SSS) es un algoritmo criptográfico que permite dividir un secreto (por ejemplo, una clave privada) en múltiples partes de modo que:

Fundamentos matemáticos: Basado en interpolación de Lagrange y aritmética modular.

  • Se necesitan al menos tt de nn partes para reconstruirlo.

  • Con menos de tt partes no se puede obtener ninguna información útil.

¿Para qué sirve?

  • Almacenar claves de forma segura y distribuida.

  • Dividir información crítica entre personas (ej. claves de empresa, bóvedas criptográficas).

  • Mecanismos de recuperación seguros (por ejemplo, recuperación social de billeteras en Web3).

  • Aplicaciones de alta seguridad, como HSMs, DAOs o backup resiliente.

¿Cómo funciona?

La idea se basa en que un polinomio de grado t−1t-1 queda determinado por tt puntos.

Si el secreto es un número ss (por ejemplo, una clave), se construye un polinomio:

f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+at−1xt−1f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_{t-1} x^{t-1}

donde:

  • a0=sa_0 = s (el secreto),

  • a1,…,at−1a_1, …, a_{t-1} son coeficientes aleatorios,

  • Los puntos f(1),f(2),…,f(n)f(1), f(2), …, f(n) se reparten como partes del secreto (shares).

Propiedades

  • Cualquier grupo de tt partes puede reconstruir el secreto usando interpolación de Lagrange.

  • Cualquier grupo de <t< t partes no puede inferir nada sobre el secreto.

  • Funciona en un campo finito (por ejemplo, módulo de un número primo grande pp).

️ Implementación práctica (simplificada)

Generación de partes:

  1. Elegimos:

    • Un número primo pp (por ejemplo, 208351617316091241234326746312124448251235562226470491514186331217050270460481).

    • Un secreto s<ps < p.

    • Grado t−1t - 1 y número total de partes nn.

  2. Creamos un polinomio aleatorio de grado t−1t-1 con a0=sa_0 = s.

  3. Evaluamos el polinomio en x=1,2,…,nx = 1, 2, …, n.

Reconstrucción (con al menos tt partes):

Usamos la fórmula de interpolación de Lagrange:

s=f(0)=∑i=1tyi⋅∏j≠i−xjxi−xjmod  ps = f(0) = \sum_{i=1}^{t} y_i \cdot \prod_{j \ne i} \frac{-x_j}{x_i - x_j} \mod p

Ejemplo ilustrativo (campo Z17\mathbb{Z}_{17})

Supongamos:

  • Secreto: s=5s = 5

  • Grado: 22 (umbral t=3t = 3)

  • Polinomio aleatorio: f(x)=5+3x+2x2mod  17f(x) = 5 + 3x + 2x^2 \mod 17

Calculamos:

  • f(1)=5+3(1)+2(1)2=10mod  17f(1) = 5 + 3(1) + 2(1)^2 = 10 \mod 17

  • f(2)=5+3(2)+2(4)=5+6+8=19mod  17=2f(2) = 5 + 3(2) + 2(4) = 5 + 6 + 8 = 19 \mod 17 = 2

  • f(3)=5+9+18=32mod  17=15f(3) = 5 + 9 + 18 = 32 \mod 17 = 15

Las partes son:
→ (1,10),(2,2),(3,15)(1,10), (2,2), (3,15)

Con estas tres, podemos reconstruir f(0)=s=5f(0) = s = 5 mediante interpolación.

Aplicaciones en programación

ÁreaAplicación
CriptografíaDivisión y recuperación segura de claves
Blockchain / Web3Wallet recovery, multisig off-chain
Sistemas distribuidosClaves compartidas en nodos
Backups resistentesSin punto único de fallo
Firmas descentralizadasThreshold signatures (con variantes de SSS)

Ventajas

  • Seguridad matemática sólida.

  • Flexibilidad en el número de participantes y umbral.

  • Resistencia ante pérdidas parciales de datos.

  • Compatible con otros sistemas criptográficos modulares.

️ Consideraciones

  • Requiere operar en un campo finito grande, por lo tanto:

    • Aritmética modular (requiere inversos).

    • Uso de números primos grandes.

  • No detecta si alguien entrega una parte falsa → para eso existe verificación verificada (VSS).

Herramientas y librerías

  • secretsharing (Python)

  • sss de cryptography.io

  • Shamir en libsodium

  • Ethereum / Solidity: Shamir + bn256

¿Quieres que prepare un ejemplo en Python que genere y recupere un secreto paso a paso usando interpolación de Lagrange sobre un campo finito? También puedo darte una versión visual en Obsidian o graficada.

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