El análisis de sistemas de control consiste en estudiar el comportamiento dinámico y estable de un sistema, a partir de su representación matemática, para evaluar su desempeño, estabilidad, precisión, rapidez y robustez. Existen varios métodos de análisis, clasificados según el dominio de trabajo (tiempo o frecuencia) y la representación del sistema (ecuaciones diferenciales, funciones de transferencia, espacio de estados, etc.).
A continuación, se presenta una explicación detallada, técnica y orientada a nivel de ingeniería.
Clasificación de los métodos de análisis
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1. Análisis en el Dominio del Tiempo
Evalúa cómo responde el sistema ante una entrada determinada (escalón, impulso, rampa…), observando su evolución temporal.
a) Respuesta temporal (transitoria y estacionaria)
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Mide cómo el sistema responde ante entradas típicas:
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Escalón unitario
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Impulso unitario
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Rampa
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Se analiza:
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Tiempo de establecimiento tst_s
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Tiempo de subida trt_r
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Sobreimpulso MpM_p
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Error en régimen permanente esse_{ss}
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b) Error en régimen permanente
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Se calcula usando el teorema del valor final:
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Depende del tipo de entrada y del tipo del sistema (número de polos en el origen).
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Se define la constante de posición KpK_p, velocidad KvK_v o aceleración KaK_a, según el tipo de entrada.
c) Simulación temporal
- Uso de herramientas como MATLAB/Simulink para obtener gráficas de respuesta en tiempo real ante diversas entradas.
2. Análisis en el Dominio de la Frecuencia
Estudia cómo responde el sistema a señales senoidales de distintas frecuencias. Muy útil para analizar robustez, estabilidad relativa y diseño de compensadores.
a) Diagramas de Bode
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Representación logarítmica de:
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Ganancia (en dB) vs frecuencia (log(ω))
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Fase vs frecuencia
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Permite obtener:
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Margen de ganancia GMGM
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Margen de fase PMPM
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Frecuencia de cruce de ganancia / fase
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b) Diagrama de Nyquist
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Representa la respuesta en frecuencia compleja
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El criterio de Nyquist se usa para analizar la estabilidad de lazo cerrado basándose en la cantidad de rodeos al punto −1-1 en el plano complejo.
c) Diagrama de Nichols
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Relación entre ganancia (dB) y fase (º).
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Útil en el diseño de compensadores de fase o ganancia.
3. Análisis mediante Lugar de las Raíces (Root Locus)
Estudia cómo se mueven los polos del sistema de lazo cerrado en el plano ss cuando se varía un parámetro (usualmente la ganancia KK).
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Permite visualizar:
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Estabilidad.
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Rapidez de la respuesta (polos más a la izquierda → más rápido).
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Oscilaciones (parte imaginaria).
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Posiciones dominantes.
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Método gráfico que facilita el diseño interactivo de controladores.
4. Análisis en el Espacio de Estados
Representa el sistema como un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden en forma matricial. Fundamental para sistemas multivariable (MIMO) y control moderno.
a) Forma general
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x(t)x(t): vector de estado
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u(t)u(t): entrada
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y(t)y(t): salida
b) Ventajas del espacio de estados
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Válido para sistemas no lineales y tiempo variante.
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Permite análisis de controlabilidad y observabilidad.
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Facilita el diseño de:
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Controladores en tiempo discreto.
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Observadores de estado (ej. de Luenberger, Kalman).
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Control óptimo (LQR, MPC).
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5. Análisis de Estabilidad
Evalúa si el sistema se mantiene acotado ante una entrada acotada (criterio BIBO) o si la salida tiende a cero cuando no hay entrada (criterio asintótico).
a) Método de Routh-Hurwitz
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Permite determinar estabilidad sin calcular raíces del polinomio característico.
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Se construye la tabla de Routh y se verifica el número de cambios de signo.
b) Criterio de Nyquist
- Ya mencionado: analiza estabilidad considerando la respuesta en frecuencia abierta y la cantidad de polos en el semiplano derecho.
c) Ubicación de los polos
- Un sistema es estable si todos los polos de la función de transferencia están en el semiplano izquierdo (parte real negativa).
Ejemplo práctico de combinación de métodos
Un ingeniero que diseña un controlador PID puede:
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Analizar la respuesta al escalón (dominio temporal).
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Validar la estabilidad con el lugar de raíces.
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Evaluar el margen de fase con Bode.
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Verificar el error de seguimiento con el teorema del valor final.
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Simular el comportamiento completo en Simulink.
Conclusión
Los métodos de análisis de sistemas de control proporcionan una caja de herramientas matemáticas y gráficas que permiten evaluar y optimizar el comportamiento dinámico de sistemas físicos o digitales. La elección del método dependerá del tipo de sistema, los objetivos del diseño y las herramientas disponibles. Para un ingeniero, dominar tanto los métodos clásicos (transferencia, Bode, lugar de raíces) como los modernos (espacio de estados, control multivariable) es fundamental para abordar problemas de control robusto, adaptativo y en tiempo real.
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